Matemática básica Ejemplos

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \div \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \div \frac{y^{2} + 3 y - 28}{y^{2 - 9}}$

Paso 1

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \div \frac{2 y^{2} + 9 y + 9}{16 y^{2} - 1} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 2

Para dividir por una fracción, multiplica por su recíproca.

$\frac{4 y^{2} - 13 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 3 = 12$ y cuya suma es $b = - 13$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 13$ de $- 13 y$ .

$\frac{4 y^{2} - 13 (y) + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 13$ como $- 1$ más $- 12$

$\frac{4 y^{2} + (- 1 - 12) y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 y^{2} - 1 y - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 y^{2} - 1 y) - 12 y + 3}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{y (4 y - 1) - 3 (4 y - 1)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 y - 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 4

Factoriza por agrupación.

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Paso 4.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 12 = - 24$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 4.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} - 5 (y) - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 4.1.2

Reescribe $- 5$ como $3$ más $- 8$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + (3 - 8) y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 4.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{2 y^{2} + 3 y - 8 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 4.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 4.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y^{2} + 3 y) - 8 y - 12} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 4.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{y (2 y + 3) - 4 (2 y + 3)} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 4.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{16 y^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 5

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1

Reescribe $16 y^{2}$ como ${(4 y)}^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{{(4 y)}^{2} - 1}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 5.2

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{{(4 y)}^{2} - 1^{2}}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 5.3

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 4 y$ y $b = 1$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{2 y^{2} + 9 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 6

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ y cuya suma es $b = 9$ .

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Paso 6.1.1

Factoriza $9$ de $9 y$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{2 y^{2} + 9 (y) + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 6.1.2

Reescribe $9$ como $3$ más $6$

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{2 y^{2} + (3 + 6) y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 6.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{2 y^{2} + 3 y + 6 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 6.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{(2 y^{2} + 3 y) + 6 y + 9} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 6.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{y (2 y + 3) + 3 (2 y + 3)} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 6.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 y + 3$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{(2 y + 3) (y + 3)} \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 7

Multiplica $\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)} \cdot \frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{(2 y + 3) (y + 3)}$ .

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Paso 7.1

Multiplica $\frac{(4 y - 1) (y - 3)}{(2 y + 3) (y - 4)}$ por $\frac{(4 y + 1) (4 y - 1)}{(2 y + 3) (y + 3)}$ .

$\frac{(4 y - 1) (y - 3) ((4 y + 1) (4 y - 1))}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 7.2

Eleva $4 y - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{1} (4 y - 1) (y - 3) (4 y + 1)}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 7.3

Eleva $4 y - 1$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{1} {(4 y - 1)}^{1} (y - 3) (4 y + 1)}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 7.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(4 y - 1)}^{1 + 1} (y - 3) (4 y + 1)}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 7.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{(2 y + 3) (y - 4) ((2 y + 3) (y + 3))} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 7.6

Eleva $2 y + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{1} (2 y + 3) (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 7.7

Eleva $2 y + 3$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{1} {(2 y + 3)}^{1} (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 7.8

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{1 + 1} (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 7.9

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{y^{2 - 9}}{y^{2} + 3 y - 28}$

Paso 8

Combina fracciones.

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Paso 8.1

Mueve $y^{2 - 9}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3)} \cdot \frac{1}{(y^{2} + 3 y - 28) y^{- (2 - 9)}}$

Paso 8.2

Combinar.

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1) \cdot 1}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3) ((y^{2} + 3 y - 28) y^{- (2 - 9)})}$

Paso 8.3

Multiplica ${(4 y - 1)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3) ((y^{2} + 3 y - 28) y^{- (2 - 9)})}$

Paso 9

Simplifica el denominador.

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Paso 9.1

Factoriza $y^{2} + 3 y - 28$ con el método AC.

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Paso 9.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 28$ y cuya suma es $3$ .

$- 4, 7$

Paso 9.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3) ((y - 4) (y + 7)) y^{- (2 - 9)}}$

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} (y - 4) (y + 3) (y - 4) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Paso 9.2

Combina exponentes.

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Paso 9.2.1

Eleva $y - 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} ({(y - 4)}^{1} (y - 4)) (y + 3) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Paso 9.2.2

Eleva $y - 4$ a la potencia de $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} ({(y - 4)}^{1} {(y - 4)}^{1}) (y + 3) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Paso 9.2.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{1 + 1} (y + 3) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Paso 9.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7) y^{- (2 - 9)}}$

Paso 9.3

Resta $9$ de $2$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7) y^{- - 7}}$

Paso 9.4

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7) y^{7}}$

Paso 10

Reordena los factores en $\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{{(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7) y^{7}}$ .

$\frac{{(4 y - 1)}^{2} (y - 3) (4 y + 1)}{y^{7} {(2 y + 3)}^{2} {(y - 4)}^{2} (y + 3) (y + 7)}$